Các nhà toán học không thể thống nhất liệu 0.999… có bằng 1 hay không

Ngoài ra còn có một số chứng minh khác cũng cho thấy 0.999… bằng 1. Ví dụ, hãy viết số tuần hoàn này dưới dạng tổng đến chữ số thứ n sau dấu thập phân: 9 × 1/10 + 9 × 1/100 + 9 ×1/1000 + … + 9 × 1/10^n + 1. Khi đó, chúng ta có thể đưa 0.9 ra ngoài vì nó xuất hiện trước mỗi hạng tử.

Ta được: 0,9 × (1 + 1/10 + 1/10^2 + … + 1/10^n). Có thể viết lại 0,9 thành 1 – 1/10 để có một công thức gọn hơn: (1 – 1/10) × (1 + 1/10 + 1/10^2 + … + 1/10^n).

Nói cách khác, chúng ta đang có một cấp số nhân, một dạng mà các nhà toán học đã biết cách giải từ hàng trăm năm trước. Trong trường hợp này, kết quả sẽ là: 1 – 1/10^n+1. Và số 0.999…9 (với chữ số 9 kéo dài đến vị trí thứ n) tương ứng với 1 – 0.00…01 (trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ n + 1). Nếu bây giờ ta xét số đầy đủ 0.999…, với các chữ số 9 lặp lại vô hạn, thì n tiến tới vô cực. Khi đó, hạng tử 1/10^n tiến về 0. Khoảng cách giữa 0.999… và 1 đã bị “đẩy” ra vô hạn.

Ví dụ này chỉ là một trong nhiều chứng minh cho thấy 0.999… bằng 1. Tương tự, ta cũng có thể thấy rằng 0.8999… = 0.9, 0.7999… = 0.8, và cứ như vậy. Ngay cả khi thay đổi hệ số, các quy luật này vẫn đúng. Chẳng hạn, nếu chuyển sang hệ nhị phân, chỉ gồm các số 0 và 1, thì vấn đề tương tự cũng xuất hiện: 0.111… (tương ứng với 1 × 1/2 + 1 × 1/4 + 1 × 1/8 + …) cũng bằng 1.

Vì vậy, có vẻ như đã có một “bên thắng cuộc” rõ ràng trong cuộc tranh luận: phe cho rằng 0.999… = 1. Nhưng khoan. Dù toán học là một lĩnh vực mà các mối liên hệ có thể được suy ra một cách chính xác, gần như không có chỗ cho diễn giải, thì vẫn có thể tranh luận về những nền tảng cơ bản.

Ví dụ, người ta có thể đơn giản quy định rằng theo định nghĩa, 0.999… nhỏ hơn 1. Về mặt toán học, kiểu đề xuất này là được phép, nhưng khi xem xét kỹ, bạn sẽ thấy nó dẫn đến những hệ quả khá kỳ lạ.
Chẳng hạn, thông thường, nếu bạn nhìn vào trục số và chọn bất kỳ hai số nào, luôn tồn tại vô hạn số khác nằm giữa chúng. Bạn có thể tính giá trị trung bình của hai số, rồi tiếp tục lấy trung bình giữa giá trị này với một trong hai số ban đầu, và cứ tiếp tục như vậy.

Nhưng nếu giả sử rằng 0.999… nhỏ hơn 1, thì sẽ không còn số nào nằm giữa hai giá trị này nữa. Bạn đã tạo ra một “khe hở” trên trục số. Và khoảng trống đó khiến các phép tính trở nên kỳ lạ. Bởi vì 1/3 + 2/3 = 1 vẫn đúng trong hệ này, nên tương ứng, 0.333… + 0.666… = 1. Mỗi khi thực hiện phép cộng, bạn sẽ phải làm tròn lên nếu kết quả rơi vào khoảng “kỳ lạ” giữa 0.999… và 1. Việc làm tròn này cũng áp dụng cho phép nhân, chẳng hạn 0.999… × 1 = 1, điều này khiến một quy tắc cơ bản của toán học, rằng bất kỳ số nào nhân với 1 đều bằng chính nó, không còn đúng nữa.